番外編：純正律のお話

純正律のお話をします。

①「周波数」という言葉について

②和音がハモるとはどういうことか

③平均律とは何か

④純正律とは何か

どうしても物理の話が絡みますが，正確さを犠牲にしてなるべく物理の言葉を使わないようにします。

①「周波数」という言葉について

・1オクターブ上がると周波数が2倍

「周波数」 という物理の言葉があります。「振動数」とほぼ同義ですが，この記事では「周波数」で統一します。周波数は，高い/低い，という使い方をして，周波数が高い音はいわゆる高音，周波数が低い音はいわゆる低音です。

周波数は，1秒間の振動のサイクル数のことを指し，1秒間に◯回のサイクルで振動しているとき「この振動の周波数は◯Hzだ」と言います。「Hz」は周波数の単位で「ヘルツ」と読みます。そして音は振動のひとつです。◯が大きいほど周波数が高い振動，すなわち高い音です。

例：「500Hzの音」は，「200Hzの音」よりも高い

チューナーに表示される「442Hz」も周波数です。あれはAの音を442Hzと決めて，そこから他の音の音程を決定していく，ということです。

周波数が2倍になると，音は1オクターブ高くなります。

(ex.「880Hzの音」は，「440Hzの音」の1オクターブ上の音)

周波数が2倍の2倍，つまり4倍になると，音は2オクターブ高くなります。

(ex.「1760Hzの音」は，「440Hzの音」の2オクターブ上の音)

「1オクターブは周波数が2倍」を覚えてください。

②和音がハモるとはどういうことか

・和音に含まれている音の周波数の比が，簡単な整数の比になると，ハモる

和音がハモる，とは「和音に含まれている音の周波数の比が，簡単な整数の比になること」です。「簡単な整数の比」 というとどれくらいが「簡単」なのか線引が難しいですが，1：2：3とか10：12：15とかそれぐらいが「簡単」だと思ってください。1000：1059：1122とかは「簡単ではない」と言えます。

ex.「440Hzの音」と「880Hzの音」の和音を考えます。

周波数の比は440：880＝1：2で「簡単な整数の比」と言えます。よって，この和音はハモります。①でも書いたように「周波数が2倍＝1オクターブ」なので，この和音は1オクターブ（8度）です。そりゃハモります。

ex:「440Hzの音」と「660Hzの音」と「880Hzの音」の和音を考えます。

周波数の比は440：660：880＝2：3：4で「簡単な整数の比」と言えます。よって，この和音はハモります。この和音は（あとで詳しく書きますが）「下のA・E・上のA」でハモります。いわゆるパワーコードです。

③平均律とは何か

・半音上がると周波数が1.059463倍

・複雑な数字ばかりなので，ぴったりハモらない

①で書いたように「1オクターブ上がると周波数が2倍」です。

では1オクターブより短いとどうなるのか。2倍で1オクターブ上，1倍で同じ音であることから，周波数が1.5倍とか1.25倍とかになると，5度とか3度とか上の音になりそうな気がしてきます。さてこれをどう考えるか。

1オクターブは半音12個だから，「2倍」を12分割すれば，半音上がるためには周波数が何倍になればよいか，がわかりそうです。ところが，これは単純に2を12で割るわけにはいきません。ここがちょっとだけ難しい。

今分かってることは「上のドの周波数は，下のドの周波数の2倍」ということ。 ということで「ド♯の周波数は，ドの周波数の☆倍」とします。つまり，半音上の音を作りたいときは，周波数を☆倍にしてくださいね，と決めるわけです。いまから☆の数値が具体的にどうなるかを計算します。

ドの周波数を☆倍にするとド♯の周波数になります。ということは，もう1回周波数を☆倍したら，もう半音上のレの周波数になります。最初のドから考えると☆倍の☆倍です。

これをもう1回☆倍したら，もう半音上のミ♭が出てきます。これは最初のドの☆倍の☆倍の☆倍です。

これをもう1回以下略

と半音ずつ上がっていって，1オクターブ上のドになるまで続けます。1オクターブは半音12個だから 「1オクターブ上のドは，最初のドの☆倍の☆倍の･････(12回繰り返し)･････の☆倍」となります。 つまり☆を12回掛け算したら2倍になります。この☆を逆算すればいい。

これを求めることは手計算ではまず無理なので，電卓に頼ります。電卓さんによると☆はだいたい1.05946ぐらいらしいです。かっこよく言うと「☆は2の12乗根」 です。

この「1.05946倍」を使って，最初のドの周波数の何倍か，を書くと

ド　　1倍

ド♯　1.059463

レ　　1.122462

レ♯　1.189207

ミ　　1.259921

ファ　1.334840

ファ♯1.414214

ソ　　1.498307

ラ♭　1.587401

ラ　　1.681793

シ♭　1.781797

シ　　1.887749

ド　　2

になります。ご覧の通り長ったらしい複雑な数字になります。しかも上の数字は「割り切れない」ので四捨五入しています。 

このような周波数の比で定められる音階を「平均律音階」と呼んだりします。そして，こんな複雑な数字ばっかりの平均律では，②で書いたみたいな「周波数が簡単な整数の比」にはなりません。唯一オクターブだけが1：2となるのでハマりますが，それ以外は全然ダメです。 

和音という側面から考えると平均律はちょっと不便なんです。

④純正律とは何か

・ハモらない平均律を，ちょっとだけいじってハモるようにするのが純正律

・そのいじった分が，「メジャーの第3音は低い」「マイナーの第3音は高い」みたいなやつ

たとえばさっきの表で，「ドミソ」の和音(メジャーコード)を考えてみます。

ド　1

ミ　1.259921

ソ　1.498307

周波数の比は，ド：ミ：ソ＝1：1.259921：1.498307　です。これは「簡単な整数の比」にはなりません。ならないので，なるべくこれに近い音程で高くしたり低くしたりして，無理やり「簡単な整数の比」にしてしまおうというのが純正律の考え方です。

メジャーコードの場合だと，

ミの1.259921を無理やり1.25に下げて ，

ソの1.498307を無理やり1.5に上げてしまいましょう。すると，周波数の比は

ド：ミ：ソ＝1：1.25：1.5＝4：5：6 

と「簡単な整数の比」になります。つまりハモります。平均律から考えると，ハモるためにはミ(第3音)を下げて，ソ(第5音)をちょっとだけ上げるという操作が必要になります。

「ドミ♭ソ」の和音(マイナーコード)についても同じように考えることができます。この場合だとソの上げ方はさっきと同じで，ミ♭を上げて1.189207から1.2にすると

ド：ミ♭：ソ＝1：1.2：1.5＝10：12：15

となってさっきより見た目の数字は大きいですが，これも「簡単な整数の比」とみなせます。平均律から考えると，ミ♭(第3音)を上げて，ソ(第5音)をちょっとだけ上げるという操作が必要になります。

7thや9th以上のテンションコードについてもハモりたければ近い周波数に上げ下げすればどこかでハマると思いますが，テンションについては必ずしもハモるのが正解とも言えません。もっというとマイナーコードの3音は，はめたらはめたでマイナーの割にスッキリしてしまうので，敢えて平均律で押し切るという手もあります。

さらに若干原理主義的なことを言うと，本来ならば，「ルート音がぴったしの音程」ではなく「その調の根音がぴったしの音程(B♭durならB♭)」とすべき，な話もあったりするので，そうなると低音が音程いじってねみたいな話になるんですが，吹奏楽曲は転調が多いので（狭義な意味でのクラシックではないので），低音は基本平均律ベースでいつでもぴったし，上に乗っかる楽器が合わせる，という解釈をすることが多いように思います。個々の判断になるので，指揮者や音楽監督に従いましょう。

ちなみに純正律と一言で言っても色々あるらしく，この文章では一番古典的なピタゴラス音階を元にしました。多少は正確性を犠牲にして記述しましたのでご容赦願いたいですが，明確な誤りがあればご指摘いただければ幸いです。よろしくお願いいたします。